Linear elliptic PDEs with sublinear or superlinear mixed boundary conditions and spatial heterogeneities

Abstract

En este artículo es considerado un problema de contorno constituido por una ecuación en derivadas parciales lineal de tipo elíptico con condiciones de frontera no lineales de tipo mixto que contienen heterogeneidades espaciales con de signo arbitrario a lo largo de la frontera. Los resultados obtenidos en este trabajo proporcionan el diagrama global de bifurcación de soluciones positivas del problema, el comportamiento puntual de éstas cuando los parámetros del problema cambian y la dinámica del problema parabólico asociado. La principal contribución de este trabajo es proporcionar resultados generales sobre existencia, unicidad, estabilidad y comportamiento puntual de soluciones positivas, para problemas de contorno con condiciones de frontera no lineales de tipo mixto que contienen heterogeneidades espaciales. Las principales técnicas utilizadas para obtener los resultados son bifurcación local y global, técnicas de monotonía, la Caracterización del Principio del Máximo dada por H. Amann y J. López-Gómez (1998) y los resultados previos sobre crecimiento puntual de soluciones positivas en problemas donde hay bifurcación desde infinito (López-Gómez, J. y Sabina de Lis, J.C. 1998) y sobre dinámica de problemas parabólicos (López-Gómez, J. 2000). Los resultados obtenidos en este trabajo suponen la continuación natural de los resultados obtenidos por el autor en sus últimas publicaciones en este campo.

In this paper is considered a boundary value problem constituted by a linear elliptic partial differential equation with nonlinear mixed boundary conditions containing spatial heterogeneities with arbitrary sign along the boundary. The results obtained in this work provide us with the global bifurcation diagram of positive solutions, the pointing behavior of them when the parameters change and the dynamics of the associated parabolic problem. The main contribution of this paper is providing us with general results about existence, uniqueness, stability and pointing behavior of positive solutions, for boundary value problems with nonlinear boundary conditions of mixed type containing spatial heterogeneities. The main technical tools used to obtain the results of this work are local and global bifurcation, monotonicity techniques, the Characterization of the Strong Maximum Principle given by H. Amann and J. L\'opez-G\'omez(1998) and the previous results about point-wise growth of positive solutions for problems where the bifurcation from infinity occurs (López-Gómez, J. and Sabina de Lis, J.C. 1998) and about dynamics of parabolic problems (López-Gómez, J. 2000) The results obtained in this paper are the natural continuation of the results obtained in the field in the last publications of the author.