La evolución de la modelización de la incertidumbre en la valoración financiera : análisis de los modelos CAPM, Arrow-Debreu, binomial y Black-Schole

Abstract

La incertidumbre es una realidad humana innegable y que afecta a muchas ramas del saber. En la economía y en las finanzas son varios los caminos que toman los distintos autores de los modelos de valoración clásicos para enfrentarse al problema que presenta la escasez de información sobre el futuro. Las ciencias matemáticas ofrecen herramientas que permiten teorizar sobre la naturaleza de los activos y los agentes económicos. El objetivo es obtener de las distintas variables del modelo un valor de parámetro que asigne, por ejemplo, un precio a un activo. Los modelos financieros se distinguen entre estáticos y dinámicos según haya uno o más periodos temporales a ser considerados, respectivamente. Los modelos estáticos suelen definir un único periodo de equilibrio (CAPM y Arrow-Debreu). Dentro de los modelos dinámicos nos encontramos con los que presentan la evolución de las variables en tiempo discreto (binomial) y continuo (Black-Scholes). Presentamos intencionalmente un ejemplo para cada tipo de modelo. Todos ellos guardan similitudes en su forma de modelizar la incertidumbre. Por ejemplo, Arrow y Debreu (1954) presentan las bases teóricas que servirán de estructura a los demás modelos: lo que para un periodo se hace en Arrow-Debreu, se puede hacer para varios periodos en el llamado proceso estocástico. Se presentan cronológicamente a los modelos, haciendo hincapié no sólo en la forma como los modelos beben de las teorías de unos y otros para exponer sus ideas, pero también en sus peculiaridades. Todo esto lo acompañamos con un riguroso tratamiento matemático de las ideas, yendo siempre a lo más elemental y explicando de forma intuitiva las ideas de tal forma que una persona que no sea versada en finanzas, pero si en matemáticas, pueda entender a los modelos clásicos de la valoración financiera.

Uncertainty is an undeniable human reality that affects many branches of knowledge. In economics and finance, there are many tools that authors use in classical valuation models to tackle the issue that is the lack of information about the future. Mathematics provides us with the tools that allow us to theorize over the nature of economic agents and assets. The objective of these models is to obtain from its variables a value of a parameter that could indicate, for instance, the price of a financial asset. Financial models can be either static or dynamic depending on whether we consider one or many time periods. Static models often define one period of equilibrium (CAPM and Arrow-Debreu). Dynamic models can in turn present the evolution of variables in either a discrete (binomial) or continuous (Black-Scholes) time set. We intentionally present an example for each type. All these models hold similarities in their ways of interpreting uncertainty. For instance, Arrow and Debreu (1954) present a theoretical basis that will provide structure to other models: what Arrow-Debreu does for a single period can be done for each period of a dynamic model in a so-called stochastic process. We present these models chronologically, emphasizing not only the way in which they resemble and use each other’s ideas, but also the peculiarities that make them unique. We accompany these ideas with rigorous mathematical language, never leaving even the most elemental concept unexplained, going over the intuition of ideas in such a way that someone who does not have a background in finance, but has the sufficient mathematical knowledge nonetheless, can understand these classical models of financial valuation through this text.