Formulación de un algoritmo de flujo de cargas parabólico

Abstract

La resolución del problema de flujos de cargas resulta fundamental en la operación y análisis de sistemas eléctricos. Partiendo de una red eléctrica y un despacho de energía, la resolución del flujo de cargas permite obtener las condiciones de operación en régimen permanente de un sistema de energía eléctrica para el escenario considerado. De forma más específica, el flujo de cargas proporciona las variables de estado del sistema, es decir, las tensiones de los nudos en módulo y argumento, lo cual permite calcular todas las magnitudes clave de un sistema eléctrico, tales como los flujos de potencia por líneas y transformadores o las pérdidas de la red, entre otros. Además de cómo aplicación independiente, el flujo de cargas es el paso previo a muchos estudios o herramientas como las estimaciones de estado, evaluaciones de contingencias en una red, estudios de cortocircuitos, análisis de protecciones, análisis de seguridad, estudios de estabilidad transitoria, colapso de tensiones, etc.

El sistema de ecuaciones planteado para determinar los balances de las inyecciones de potencia en cada nudo es no lineal, ya que contiene ecuaciones cuadráticas y trigonométricas, de modo que la forma de resolverlo es mediante métodos iterativos. Sin embargo, en problemas mal condicionados pueden aparecer problemas de convergencia que hacen que el algoritmo iterativo de resolución diverja u oscile, de modo que no se pueda obtener una solución al problema. Por ello se requieren métodos de resolución robustos y rápidos. Actualmente las redes son más complejas que nunca, debido a las nuevas tecnologías que están cambiando el panorama eléctrico, como la generación distribuida, grandes redes interconectadas, redes de alta tensión en corriente continua (HVDC) usadas entre otras cosas para la interconexión de sistemas con diferentes frecuencias o de forma submarina, vehículos eléctricos, dispositivos de almacenaje, etc. Por motivos de eficiencia económica y seguridad, es preciso mejorar la robustez, fiabilidad y rapidez de las herramientas de cálculo existentes.

Durante décadas, diferentes métodos han sido propuestos en la literatura técnica para resolver los flujos de potencia de los sistemas eléctricos, así como para verificar la solvencia del problema y luego, en los casos en los que existe solución, obtenerla. La mayoría de estos trabajos se basan en el método más extendido en la actualidad para la resolución del problema de flujo de cargas, el método de Newton-Raphson (NR). Debido a la no linealidad de sus ecuaciones, todos los métodos de resolución de flujo de cargas desarrollados en la literatura se presentan como procesos iterativos. Gracias a los avances en sistemas computacionales, al desarrollo de las técnicas de matrices dispersas y a la introducción de reformulaciones simplificadas de las ecuaciones, los algoritmos basados en el método de Newton Rhapson de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no-lineales son los más comúnmente utilizados por presentar una convergencia más robusta y rápida.

Tanto Newton-Raphson como sus distintas variantes se basan en sustituir las ecuaciones de estado por aproximaciones de primer orden. De este modo, en cada iteración se presentan dichas aproximaciones lineales como las ecuaciones del sistema, y se obtiene a partir de su resolución un vector de actualización de las variables de estado. Este proceso de linealización y actualización de las variables se repite hasta alcanzar los criterios de convergencia que se hayan establecido. En la mayoría de casos, el método de Newton-Raphson presenta niveles de robustez y rapidez adecuados. Sin embargo, cerca del límite de factibilidad, este método presenta problemas de convergencia.

Este proyecto presenta una reformulación de las ecuaciones de flujo de cargas en las cuales éstas quedan redefinidas en forma de homotopía. Con esta reformulación se obtiene un nuevo sistema de ecuaciones en el que aparece un nuevo parámetro encargado de definir la distancia entre el despacho que corresponde al punto inicial hasta el despacho que se quiere resolver. De esta forma, en el espacio de las variables de estado se origina un conjunto de trayectorias en función del parámetro antes mencionado, que unen los dos puntos antes mencionados. Esta reformulación en forma de homotopía permite obtener derivadas superiores a las de primer orden de las trayectorias de las variables de estado. De este modo se puede formular un algoritmo de flujo de cargas en el que para cada iteración se obtendría la actualización de las variables de estado empleando derivadas de primer y segundo orden de sus trayectorias, acelerando por tanto el proceso de convergencia.

Para ilustrar el rendimiento del algoritmo de resolución del problema de flujo de cargas propuesto, se resolverá un modelo de red de dos nudos, un sistema básico de carga de línea de generador. El algoritmo de segundo orden propuesto se prueba y compara con el método Newton-Raphson tradicional, llevando a los sistemas al límite de colapso de tensiones. Tras probar ambos algoritmos en la resolución del flujo de cargas en una red de dos nudos, para varios factores de potencia de la carga y distintos niveles de potencia activa demandada, se comprueba que el método planteado en este documento requiere el mismo o menor número de iteraciones que el método Newton-Raphson tradicional, en función de la carga, para resolver el problema de flujo de cargas.

El TFM consta de las siguientes secciones. En la sección 1 se introducirá primero la formulación del problema de flujo de cargas. Después, se presenta una revisión de los diferentes métodos para su resolución que la literatura técnica ha propuesto, centrada en el método Newton-Raphson. La sección 2 expone la metodología empleada. La sección 3 presenta los resultados obtenidos en el análisis. Finalmente, la sección 4 contiene las conclusiones del estudio.

The resolution of the power flow problem is fundamental in the operation and analysis of electrical systems. For a certain electrical network and an energy dispatch, the resolution of the power flow problem provides the steady-state operation point of the power system for the case scenario considered. More specifically, it provides the voltages magnitudes and angles for all the buses of the system, which allows the calculation all the key magnitudes of an electrical system, such as the power flows through lines and transformers or the losses of the network, among others. In addition, as an independent application, the power flow is the previous step to many studies or tools such as state estimations, contingency assessments in a network, short-circuit studies, protection analysis, safety analysis, transient stability studies, collapse of tensions, etc. The basic state variables of the power flow problem are the magnitude and argument of the voltages of the nodes. The system of equations proposed to determine the balances of the power injections in each node is non-linear, since it contains quadratic and trigonometric equations, so that the way to solve it is by iterative methods. However, in problems that are ill-conditioned, convergence problems can arise that cause the iterative resolution algorithm to diverge or oscillate, so that a solution to the problem can not be obtained. That's why robust and fast resolution methods are required.

Currently, networks are more complex than ever, due to new technologies that are changing the electricity landscape, such as distributed generation, large interconnected networks, high voltage direct current (HVDC) networks used inter alia for the interconnection of systems with different frequencies, electric vehicles, storage devices, etc. For reasons of economic efficiency and safety, it is necessary to improve the robustness, reliability and speed of the existing calculation tools.

For decades, different methods have been proposed in the technical literature to solve the power flows of electrical systems, as well as to verify the solvency of the problem and then, in the cases where there is a solution, obtain it. Most of these works are based on the most widespread method for the resolution of the power flow problem, the Newton-Raphson (NR) method. Due to the non-linearity of their equations, all load-flow resolution methods developed in the literature are presented as iterative processes. Thanks to the advances in computer systems, the development of scattered matrix techniques and the introduction of simplified reformulations of the equations, the algorithms based on the Newton Rhapson method of solving systems of non-linear equations are the most common used for presenting a more robust and faster convergence.

Both Newton-Raphson and its different variants rely on replacing the state equations with first-order approximations. In this way, in each iteration, these linear approximations are presented as the equations of the system, and an update vector of the state variables is obtained from their resolution. This process of linearization and updating of the variables is repeated until reaching the convergence criteria that have been established. In most cases, the Newton-Raphson method presents adequate levels of robustness and speed. However, near the feasibility limit, this method presents problems of convergence.

This project presents a reformulation of the power flow equations in which they are redefined in the form of homotopy. With this reformulation, a new system of equations is obtained in which a new parameter appears in charge of defining the distance between the dispatch that corresponds to the initial point to the dispatch to be solved. In this way, in the space of the state variables, a set of trajectories originates according to the aforementioned parameter, which unite the two aforementioned points. This reformulation in the form of homotopy allows to obtain derivatives superior to those of the first order of the trajectories of the state variables. In this way, it is possible to formulate a load flow algorithm in which, for each iteration, the state variables will be updated using first and second order derivatives of their trajectories, thus accelerating the convergence process.

To illustrate the performance of the algorithm for solving the proposed power flow problem, a two-node network model, a basic generator line load system, will be solved. The proposed second-order algorithm is tested and compared with the traditional Newton-Raphson method, bringing the systems to the limit of voltage collapse. After testing both algorithms in the resolution of the power flow in a network of two nodes, for several power factors of the load and different levels of active power demanded, it is verified that the method proposed in this document requires the same or lower number of iterations that the traditional Newton-Raphson method, depending on the load, to solve the power flow problem.

The thesis consists of the following sections. In section 1 the formulation of the load flow problem will be introduced first. Afterwards, a review of the different methods for its resolution that the technical literature has proposed, centred on the Newton-Raphson method is presented. Section 2 explains the methodology used. Section 3 presents the results obtained in the analysis. Finally, section 4 contains the conclusions of the study.