Métodos Wavelets en la Resolución Numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales aplicados a la Ingeniería.

Abstract

Desde que apareciesen por primera vez en los escritos de Newton y Leibniz, las ecuaciones diferenciales han formado parte del día a día de los ingenieros. A la hora de resolverlas, en función del orden de la ecuación, puede llegar a ser bastante complicado solucionarlas. Con el paso del tiempo se han ido desarrollando distintas herramientas, evolucionando y avanzando hacia soluciones más precisas y más eficientes. A comienzos de 1990 aparece la Transformada Wavelet y despierta un gran interés en distintos sectores de la Ingeniería, de la Física y de las Ciencias Aplicadas. Se basa en funciones elementales oscilantes, suaves y de rápido decaimiento, y permite analizar y sintetizar señales de manera efectiva. Así pues, en este proyecto se analizarán y diseñarán distintos algoritmos con el fin de obtener la solución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales aplicadas a la resolución de problemas de valor inicial o de frontera. Para ello se resuelven distintos ejercicios, se obtienen distintas tablas de errores y gráficos orientativos que permiten comparar los distintos métodos y evaluar cuál es más preciso a la par que sencillo o rápido. Es decir, se busca determinar el método óptimo. Los tres métodos comparados (método de perturbaciones homotópicas, de colocación de Haar y de colocación de Chebyshev) proporcionan unos resultados precisos, con un error prácticamente nulo y una evolución clara en función de la precisión (puntos de malla) escogida. Los métodos wavelet se presentan como una mejor opción. De los dos propuestos, claramente el que mejor responde es el método de Haar, especialmente cuando se aumenta el número de puntos del mallado. Como se puede apreciar en los gráficos impresos a lo largo del proyecto, el ajuste es prácticamente exacto, aunque en ocasiones haya una pequeña oscilación al llegar a la frontera.

Ever since they first appeared in the writings of Newton and Leibniz, differential equations have been part of the everyday life of engineers. When solving them, depending on the order of the equation, it can be quite complicated to solve them. Over time, different tools have been developed, evolving and advancing towards more accurate and efficient solutions. At the beginning of 1990 the Wavelet Transform appeared and aroused great interest in different sectors of Engineering, Physics and Applied Sciences. It is based on oscillating, smooth and fast decaying elementary functions, and allows to analyze and synthesize signals effectively. Thus, in this project different algorithms will be analyzed and designed in order to obtain the numerical solution of Partial Differential Equations applied to solve initial value or boundary problems. For this purpose, different exercises are solved, different error tables and orientation graphs are obtained to compare the different methods and to evaluate which one is more precise and at the same time simple or fast. In other words, the aim is to determine the optimal method. The three methods compared (homotopic perturbation method, Haar collocation method and Chebyshev collocation method) provide accurate results, with practically zero error and a clear evolution depending on the precision (mesh points) chosen. The wavelet methods are presented as a better option. Of the two proposed, the Haar method is clearly the best performing, especially when the number of grid points is increased. As can be seen in the graphs printed throughout the project, the fit is practically exact, although sometimes there is a small oscillation when reaching the boundary.