Lie algebroid connections, twisted Higgs bundles and motives of moduli spaces. ArXiv:2102.12246

Abstract

Sea L=(L,[⋅,⋅],δ) un algebroide de Lie algebraico sobre una curva proyectiva suave de género g≥2 tal que L es un fibrado de lína cuyo grado es menor que 2-2g. Sean r y d números coprimos. Probamos que la clase motívica (en el anillo de Grothendieck de variedades) del espacio de moduli de L-conexiones de rango r y grado d sobre X no depende de la estructura de algebroide de Lie [⋅,⋅] y δ de L ni tampoco del propio fibrado de línea L, si no únicamente del grado de L (y, por supuesto, de r, d, g y X). En particular, coincide con la clase motívica del espacio de moduli de K(D)-fibrados de Higgs de rango r y grado d, donde D es un divisor de grado positivo. Como consecuencia se obitienen resultados similares (de hecho, ligeramente más fuertes) para los correspondientes E-polinomios. Además, se deducen algunas aplicaciones de estos resultados.

Let L=(L,[⋅,⋅],δ) be an algebraic Lie algebroid over a smooth projective curve of genus g≥2 such that L is a line bundle whose degree is less than 2−2g. Let r and d be coprime numbers. We prove that the motivic class (in the Grothendieck ring of varieties) of the moduli space of L-connections of rank r and degree d over X does not depend on the Lie algebroid structure [⋅,⋅] and δ of L and neither on the line bundle L itself, but only the degree of L (and of course on r,d,g and X). In particular it is equal to the motivic class of the moduli space of KX(D)-twisted Higgs bundles of rank r and degree d, for D any divisor of positive degree. As a consequence, similar results (actually a little stronger) are obtained for the corresponding E-polynomials. Some applications of these results are then deduced.