Soluciones Numéricas de Problemas en Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias de Orden Variable con Wavelets en Ingeniería

Abstract

Desde la introducción del concepto de ecuaciones diferenciales por Leibniz en el siglo XVII, este campo matemático ha evolucionado considerablemente, culminando hoy en la noción de ecuaciones diferenciales fraccionarias de orden variable. Los sistemas físicos reales se describen a menudo con mayor precisión utilizando estas ecuaciones. Las propiedades no locales de estos sistemas son más visibles gracias al cálculo fraccionario, que contribuye a la representación de muchos fenómenos del mundo real, ya sea en física, mecánica, teoría de control o procesamiento de señales. Resolver estas ecuaciones con exactitud puede resultar muy complejo, por lo que los métodos de aproximación numérica son cada vez más populares. Históricamente, se han introducido herramientas matemáticas como las transformadas de Fourier y Laplace para facilitar la resolución de determinadas ecuaciones. En el caso de la transformada de Fourier, ésta proporciona una interesante representación frecuencial de las soluciones, pero es muy poco concluyente para soluciones no periódicas, o cuando el espectro de frecuencias varía considerablemente con el tiempo. Los métodos de Wavelets se desarrollaron precisamente para superar estos problemas. Existen varias familias de Wavelets, y el trabajo presente, se centra en el estudio de las Wavelets de Bernoulli para la solución numérica de ecuaciones diferenciales fraccionarias de orden variable.

Since the introduction of the concept of differential equations by Leibniz in the 17th century, this mathematical field has evolved considerably, culminating today in the notion of fractional differential equations of variable order. Real physical systems are often described more precisely using these equations. The non-local properties of these systems are made more visible by fractional calculus, which contributes to the representation of many real-world phenomena, whether in physics, mechanics, control theory or signal processing. Solving these equations exactly can be very complex, so numerical approximation methods are becoming increasingly popular. Historically, mathematical tools such as the Fourier and Laplace transforms have been introduced to facilitate the solution of certain equations. In the case of the Fourier transform, it provides an interesting frequency representation of the solutions, but is very inconclusive for non-periodic solutions, or when the frequency spectrum varies considerably with time. Wavelet methods were developed precisely to overcome these problems. There are several families of wavelets, and the present work focuses on the study of Bernoulli wavelets for the numerical solution of fractional differential equations of variable order. The objectives to be achieved are the following: 1. New designs of numerical methods based on the expansion of Bernoulli Wavelets and the variable order (VO) fractional derivative that solve variable order physical models with high accuracy, efficiency and lower computational cost. 2. Creation of a practical application in the Mathematica language that implements the numerical algorithms designed with the Wavelets techniques. 3. Numerical results with the new algorithms, applied to real examples of fractional VO calculation in different areas in Science and Engineering (structural mechanics, macro structure of a material, non-linear viscoelastic behaviour, signal processing, non-linear systems with delay, the pantograph, etc.), which allow confirming the precision and convergence of the approximations obtained.