Modelización del Sistema Glucosa-Insulina con Ecuaciones Diferenciales de Orden Fraccionario con Retraso (SFDDE) y Resolución con el Método Wavelet de Chelyshkov.

Abstract

El cuerpo humano necesita mantener niveles específicos de glucosa en sangre para funcionar de forma correcta, por lo que segrega una hormona que se encarga de regular ese nivel: la insulina. Sin embargo, más del 10% de la población en España tiene dificultades para segregar la cantidad de insulina necesaria para adecuar el nivel de glucosa en sangre, enfermedad que se conoce como diabetes mellitus. Esta enfermedad es una de las principales causas de mortalidad en España y en todo el mundo, debido a que aumenta el riesgo de sufrir enfermedades cardiovasculares.

Para comprender mejor el comportamiento y los mecanismos que rigen el sistema regulador Glucosa-Insulina, en el pasado se han propuesto numerosos modelos matemáticos que describen con mayor o menor precisión estas dinámicas. Uno de los más precisos es el modelo basado en Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Retraso de Orden Fraccionario (SFDDE).

Este proyecto propone un nuevo modelo de interacción del sistema regulador Glucosa-Insulina que será resuelto mediante una de las últimas técnicas de resolución de SFDDE: el Método Wavelet de Chelyshkov, un método que permite reducir los SFDDE a un sistema de ecuaciones algebraicas. Para ello, se ha diseñado un algoritmo en el lenguaje Mathematica que emplea el método Wavelet y da solución al modelo de interacción Glucosa-Insulina propuesto.

The human body needs to maintain specific levels of glucose in the blood in order to function properly, so it secretes a hormone that is responsible for regulating this level: insulin. However, more than 10% of the population in Spain has difficulties in secreting the amount of insulin needed to adjust the level of glucose in the blood, a disease known as diabetes mellitus. This disease is one of the main causes of mortality in Spain and worldwide, as it increases the risk of cardiovascular disease.

In order to better understand the behaviour and mechanisms that govern the Glucose-Insulin regulatory system, numerous mathematical models have been proposed in the past that describe these dynamics with greater or lesser precision. One of the most accurate is the model based on Systems of Fractional Order Delay Differential Equations (SFDDE).

This project proposes a new interaction model of the Glucose-Insulin regulatory system that will be solved using one of the latest SFDDE solving techniques: the Chelyshkov Wavelet Method, a method that allows SFDDEs to be reduced to a system of algebraic equations. For this purpose, an algorithm has been designed in the Mathematica language that uses the Wavelet method and provides a solution to the proposed Glucose-Insulin interaction model.