Asymptotic Fermats last theorem for a family of equations of signature

Abstract

El artículo amplía el estudio clásico de las ternas pitagóricas generalizadas al contexto de los campos numéricos. Partiendo de la ecuación ax² + by² + cz² = 0, el autor analiza las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones en un campo numérico K, utilizando el teorema de Hasse–Minkowski y otros resultados de la teoría algebraica de números. Se desarrollan algoritmos que permiten hallar soluciones, parametrizarlas y obtener soluciones mínimas, extendiendo métodos de Legendre, Mordell y Hölzer al caso de campos con número de clase distinto de uno. El trabajo combina teoría y computación, ofreciendo procedimientos efectivos y ejemplos ilustrativos, y propone futuras líneas de investigación en torno a la resolución algorítmica y la minimización de soluciones en campos no euclídeos.

The article extends the classical study of generalized Pythagorean triples to the setting of number fields. Starting from the equation ax² + by² + cz² = 0, the author establishes necessary and sufficient conditions for the existence of solutions over a number field K, employing the Hasse–Minkowski theorem and results from algebraic number theory. The paper develops algorithms to find, parameterize, and minimize solutions, generalizing the approaches of Legendre, Mordell, and Hölzer to fields with class number greater than one. Combining theoretical insight and computational methods, it presents explicit procedures and examples, and outlines future research directions concerning algorithmic solvability and minimality in non-Euclidean number fields.