Higher-order Euler–Poincaré field equations

Abstract

Este trabajo desarrolla una teoría de reducción para sistemas lagrangianos de campo invariantes bajo un grupo de simetrías G G, definidos en haces principales de orden superior, dando lugar a las ecuaciones de campo de Euler–Poincaré de orden superior. A través de la traslación del principio de Hamilton al haz reducido de conexiones planas, se garantiza la condición de reconstrucción: toda solución de las ecuaciones reducidas proviene localmente de una solución de las ecuaciones originales. Asimismo, las ecuaciones reducidas se interpretan como la conservación de una corriente de Noether asociada a las simetrías del sistema. Finalmente, la teoría se ilustra mediante el estudio de splines multivariantes de orden superior en grupos de Lie, mostrando cómo las ecuaciones reducidas se aplican a problemas geométricos y físicos de interpolación y dinámica.

This paper develops a reduction theory for G G-invariant Lagrangian field theories defined on higher-order jet bundles of principal G G-bundles, obtaining the higher-order Euler–Poincaré field equations. By transferring Hamilton’s principle to the reduced configuration bundle—identified with the bundle of flat connections up to a given order—the reconstruction condition is automatically satisfied, ensuring that every reduced solution locally corresponds to a solution of the original system. Furthermore, the reduced equations are shown to be equivalent to the conservation of the Noether current. The framework is illustrated through the study of multivariate higher-order splines on Lie groups, demonstrating the geometric and analytical implications of the proposed formulation.