Análisis y Resolución de Nuevos Modelos Dinámicos Glucosa-Insulina y Células Beta de Orden Fraccionario con Retraso

Abstract

La diabetes es una enfermedad metabólica crónica caracterizada por niveles elevados de glucosa en sangre, que con el tiempo produce daños graves en diferentes órganos y sistemas. Actualmente esta enfermedad afecta a alrededor de 400 millones de personas en el mundo, siendo una de las principales causas que provocan ceguera, insuficiencia renal o ataques cardiacos. Pese a ser una enfermedad cuyo conocimiento y diagnosis se remonta incluso antes de la edad cristiana, todavía no tiene cura, y que solo en España afecta a más de 5 millones de personas al año. Con la realización de este trabajo pretendemos ayudar a los expertos a entender mejor el comportamiento y la manera en la que interaccionan la insulina y la glucosa, y así ayudar a la posible diagnosis de un tratamiento para erradicar la enfermedad. El objetivo principal del trabajo es presentar un estudio, análisis extenso y desarrollo de los nuevos modelos dinámicos de glucosa–insulina (MDGI) y células β que permiten conocer las concentraciones de glucosa en sangre, de insulina y las células β sanas. Para ello, se hará una descripción de los nuevos modelos matemáticos con retraso del tiempo, un análisis de la estabilidad de los puntos de equilibrio y el estudio de una posible bifurcación de Hopf para los modelos. Y por último se realizarán las simulaciones numéricas pertinentes con el software de Mathematica.

Diabetes is a chronic metabolic disease characterized by high blood glucose levels, which over time causes serious damage to different organs and systems. This disease currently affects around 400 million people in the world, and is one of the main causes of blindness, kidney failure and heart attacks. Despite being a disease whose knowledge and diagnosis dates back even before the Christian age, it still has no cure, and in Spain alone affects more than 5 million people a year. With this work we intend to help experts to better understand the behavior and the way in which insulin and glucose interact, and thus help in the possible diagnosis of a treatment to eradicate the disease. The main objective of the work is to present a study, extensive analysis and development of the new dynamic models of glucose-insulin (DGIGM) and β-cells that allow to know the concentrations of glucose in blood, insulin and healthy β-cells. For this purpose, a description of the new mathematical models with time delay, an analysis of the stability of the equilibrium points and the study of a possible Hopf bifurcation for the models will be made. And finally, the relevant numerical simulations will be performed with Mathematica software.