Linear short rate model with several delays

Abstract

Este artículo introduce un modelo de tasa corta en tiempo continuo que incorpora uno o varios componentes de memoria (retardos) al modelo de Merton o al modelo de Vasiček. La tasa corta sigue una ecuación diferencial estocástica con retardo cuya distribución es normal y cuya media depende de valores pasados de la propia tasa. Bajo ciertas condiciones, existe una distribución límite. El precio del bono cupón cero se expresa como una función afín de la tasa corta, cuyos coeficientes satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales con retardo que puede resolverse analíticamente, obteniéndose una fórmula cerrada. Se deriva además una expresión analítica para la tasa forward instantánea coherente con la dinámica de Heath-Jarrow-Morton. Finalmente, se presentan fórmulas para caplets sobre tasas overnight y se calibra el modelo con datos de SONIA y la curva de rendimientos de Estados Unidos.This paper introduces a short rate model in continuous time that adds one or more memory (delay) components to the Merton model or the Vasiček model for the short rate. The distribution of the short rate in this model is normal, with the mean depending on past values of the short rate, and a limiting distribution exists for certain values of the parameters. The zero coupon bond price is an affine function of the short rate, whose coefficients satisfy a system of delay differential equations. This system can be solved analytically, obtaining a closed formula. An analytical expression for the instantaneous forward rate is given: it satisfies the risk neutral dynamics of the Heath-Jarrow-Morton model. Formulae for both forward looking and backward looking caplets on overnight risk free rates are presented. Finally, the proposed model is calibrated against forward looking caplets on SONIA rates and the United States yield curve.