Decompositions of motives in positive sums

Abstract

Este trabajo estudia computacionalmente las descomposiciones positivas del motivo de los espacios de móduli de fibrados vectoriales estables sobre una curva algebraica compleja proyectiva. Dado una curva C de género g, el espacio de móduli M(r,L) parametriza los fibrados vectoriales estables de rango r y determinante fijo L. Su motivo vive en el anillo de Grothendieck de motivos de Chow, y la pregunta central es si puede expresarse como polinomio con coeficientes enteros no negativos en el motivo de Lefschetz L y las potencias λk([C]) del motivo de la curva. Esta conjetura está motivada por la relación entre categorías derivadas y motivos predicha por Orlov, y por la conjetura de Narasimhan sobre descomposiciones semiortogonales de D(M(r,L)). Para r=2 y r=3 la descomposición es conocida; este trabajo aborda el caso r≥4. Se implementan tres algoritmos de búsqueda en Python sobre la librería motives. El primero, greedy, encuentra la descomposición única cuando los índices k no superan g. El segundo, basado en búsqueda en anchura, encuentra 240 descomposiciones distintas para r=4, g=2, demostrando la no unicidad. El tercero emplea los diamantes de Hodge como heurística para guiar una búsqueda en profundidad, obteniendo al menos una descomposición positiva para r=5, g=2. Los resultados constituyen evidencia computacional sólida a favor de la conjetura.This work computationally studies positive decompositions of the motive of moduli spaces of stable vector bundles over a smooth complex projective curve. Given a curve C of genus g, the moduli space M(r,L) parametrizes stable vector bundles of rank r with fixed determinant L. Its motive lives in the Grothendieck ring of Chow motives, and the central question is whether it can be expressed as a polynomial with non-negative integer coefficients in the Lefschetz motive L and the powers λk([C]) of the motive of the curve. This conjecture is motivated by the relationship between derived categories and motives predicted by Orlov, and by Narasimhan's conjecture on semiorthogonal decompositions of D(M(r,L)). For r=2 and r=3 the decomposition is known; this work addresses the case r≥4. Three search algorithms are implemented in Python on the motives library. The first, greedy, finds the unique decomposition when indices k do not exceed g. The second, based on breadth-first search, finds 240 distinct decompositions for r=4, g=2, proving non-uniqueness. The third uses Hodge diamonds as a heuristic to guide a depth-first search, obtaining at least one positive decomposition for r=5, g=2. The results provide solid computational evidence in favour of the conjecture.