Diseño de sistema de control de un péndulo invertido accionado mediante volante de inercia

Abstract

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS El proyecto se centra en el diseño de un control en el que acelerando un volante de inercia y frenándolo de golpe, permita a la cara de un cubo levantarse desde el reposo y equilibrarse sobre uno de sus vértices. El control se basa en los principios para controlar los denominados sistemas de péndulo invertido. Mediante unas ligeras modificaciones, este control podrá ser extrapolado a las otras caras del cubo, obteniendo un control 3D para así, alcanzar el fin último del proyecto: “The Cubli: A Cube that can Jump Up and Balance. Los sistemas de péndulo invertido se encuentran englobados dentro de los denominados sistemas subactuados, los cuales, ofrecen un gran ahorro de energía. Esta eficiencia energética se debe a que, utilizando menos actuadores que grados de libertad existentes en el sistema, son capaces de conseguir un control robusto. PROTOTIPO La estructura del prototipo está basada en el prototipo de una cara realizado por la universidad ETH de Zurich. Consta de una cara cuadrada de aluminio, fijada por uno de sus vértices a un soporte que le permite girar con libertad sobre el plano vertical, y que tiene acoplada los componentes necesarios para llevar a cabo el control de sistema: motor, volante de inercia, sensores, servo y microcontrolador. El microcontrolador elegido es una Raspberry Pi Zero W. La elección se debe a la compatibilidad con el entorno Matlab/Simulink con el que se tenía pensado trabajar, su ligero peso, pequeño tamaño y gran variedad de métodos de comunicación posibles. El motor es un Maxon EC45 FLAT Brushless de 50W y el volante de inercia un disco de mini moto. El resto de los componentes son dos sensores IMU para obtener las velocidades y aceleraciones del prototipo y un ADC para convertir la señal analógica procedente de los sensores hall del motor a digital y así conocer la velocidad del motor y volante de inercia. La comunicación con los sensores y ADC se realiza mediante protocolo I2C. MODELADO Apoyándose en la mecánica lagrangiana, las ecuaciones de Euler-Lagrange y el método de los momentos generalizados, se obtienen las ecuaciones no lineales que rigen el sistema. El sistema queda definido por las siguientes variables de estado: - θb = Ángulo de la diagonal del péndulo respecto a la vertical (perpendicular a la base). - θ̇b = Velocidad angular del péndulo, a partir de ahora se denominará ωb. - θ̇𝑤 = Velocidad angular del volante de inercia, a partir de ahora se denominará ωw Posteriormente, se define el punto de operación del sistema, resultando ser aquel donde las tres variables de estado tienen valor nulo. Por último, se linealizan las ecuaciones no lineales que rigen el sistema en torno al punto de operación. DISEÑO DEL CONTROL Consiste en un control por realimentación de estados donde el diseño del control se realiza sobre el modelado del sistema. Se emplea la configuración Butterworth de tercer orden, que consiste en colocar dos polos complejos y uno real; todos con el mismo módulo. Dichos polos, tienen que cumplir con las necesidades del sistema. Deben proporcionar tanto un sobrepaso pequeño, como la rapidez suficiente para que no permitan al sistema superar el ángulo límite de recuperación. Es necesario tener claro que la estimación de las variables de estado es fundamental ya que las salidas solo dependen de la entrada aplicada y de las propias variables de estado. La estimación del ángulo de inclinación es la más complicada. Se obtiene mediante el uso de dos IMU colineales en la diagonal de la cara y a partir de las medidas de sus respectivos acelerómetros del eje X e Y. Las estimaciones de las velocidades son prácticamente directas ya que la velocidad del volante de inercia es proporcionada por los sensores hall del motor y la velocidad del cuerpo por el giróscopo en el eje Z de las IMUs. IMPLANTACIÓN DEL CONTROL La implantación del control se realiza con la herramienta Simulink. Antes de realizar la implantación, es necesario probar el control sobre el modelo generado del sistema en simulación. De no hacerlo, el hardware podría sufrir daños. Soltando el cuerpo desde un ángulo de 10o se obtuvo el siguiente resultado de simulación en el control de ángulo: Debido a las pocas entradas y a que los estados son secuenciales, resulta muy útil a la hora de implantar el control una máquina de estados o de Moore para unir los controles de salto y balanceo. Los estados de la máquina de estados son los siguientes: 1) STOP: Se trata del estado inicial en donde todo está parado. 2) CALIBRATION: Durante este estado se están calibrando los sensores para que en las etapas posteriores funcionen adecuadamente 3) ACCELERATION: Se activa el motor y este empieza a acelerarse hasta alcanzar la velocidad fijada para realizar el salto. 4) BREAK: Al llegar a este estado se activa el servo para frenar el disco de forma brusca y generar el par que eleve la cara. 5) BALANCE: Comienza el control de balanceo que intentará mantener el sistema en el punto de operación. RESULTADOS Y CONCLUSIONES El control de balanceo resultó ser deficiente e incapaz de mantener al prototipo en el punto de operación debido a las vibraciones producidas por el volante de inercia. A pesar de ello, se adaptaron todos los componentes necesarios del sistema al prototipo y se mejoró su estabilidad. También, se consiguió la estimación de todas las variables de estado de manera simultánea y se preparó el control de salto para poder llevarse a cabo en futuros desarrollos.INTRODUCTION AND OBJECTIVES The project focuses on the design of a control that accelerates a flywheel and brakes it, allowing the face of a cube to rise from rest and balance on one of its vertexes. The control is based on the principles for controlling the so-called inverted pendulum systems. By means of slight modifications, this control can be extrapolated to the other faces of the cube, obtaining a 3D control in order to reach the end of the project: "The Cubli: A Cube that can Jump Up and Balance. The inverted pendulum systems are included in the so-called sub actuated systems, which offers great energy savings. This energy efficiency is because, using fewer actuators than degrees of freedom existing in the system, they can achieve a robust control. PROTOTYPE The structure of the prototype is based on the one-face prototype made by the ETH University of Zurich. It consists of an aluminum square face, fixed by one of its vertexes to a support that allows it to rotate freely on the vertical plane, and which has the components necessary to carry out the system control: engine, flywheel, sensors, servo and microcontroller. The microcontroller chosen is a Raspberry Pi Zero W. The choice is due to the compatibility with the Matlab/Simulink environment with which it was intended to work, its light weight, small size and variety of possible communication methods. The engine is a 50W Maxon EC45 FLAT Brushless and the flywheel is a mini motorbike disc. The rest of the components are two IMU sensors to obtain the speeds, accelerations of the prototype and an ADC to convert the analog signal from the engine hall sensors to digital and thus know the speed of the engine and flywheel. The communication with the sensors and ADC is made by means of protocol I2C MODELING Using lagrangian mechanics, the Euler-Lagrange equations and the generalized moments method, we obtain the non-linear equations that govern the system. The system is defined by the following state variables: - θb = Angle of the diagonal of the pendulum with respect to the vertical (perpendicular to the base). - θ̇b = Angular velocity of the pendulum, from now on it will be called ωb. - θ̇b = Angular velocity of the flywheel, from now on it will be called ωw Subsequently, the operating point of the system is defined, resulting in the one where the three state variables have zero value. Finally, the non-linear equations that govern the system are linearized around the operating point. CONTROL DESIGN It consists of a control by feedback of states where the design of the control is made on the modeling of the system. The third order Butterworth configuration is used, which consists of placing two complex poles and a real one; all with the same module. These poles must meet the needs of the system. They must provide both a small overshoot and enough speed not to allow the system to exceed the recovery limit angle. It is necessary to be clear that the estimation of the state variables is fundamental since the outputs only depend on the input applied and on the state variables themselves. The estimation of the inclination angle is the most complicated. It is obtained by using two collinear IMUs on the diagonal of the face and from the measurements of their respective accelerometers of the X and Y axis. The estimates of the velocities are practically direct since the speed of the flywheel is provided by the engine hall sensors and the speed of the body by the gyro on the Z axis of the IMUs. CONTROL IMPLEMENTATION The control is implemented using the Simulink tool. Before implementation, it is necessary to test the control over the model generated from the simulation system. Failure to do so could result in damage to the hardware. Releasing the body from a 10o angle resulted in the following simulation result in the angle control: Due to the few inputs and the fact that the states are sequential, it is very useful when implementing a state machine or Moore control to join the jump and roll controls. The states of the state machine are as follows: 1) STOP: This is the initial state where everything is stopped. 2) CALIBRATION: During this state the sensors are being calibrated so that in the later stages they work properly. 3) ACCELERATION: The engine is activated and begins to accelerate until it reaches the speed set to perform the jump. 4) BREAK: When this state is reached, the servo is activated to brake the disc abruptly and generate the torque that raises the face. 5) BALANCE: Begins the roll control that will try to keep the system at the point of operation. RESULTS AND CONCLUSIONS The roll control proved to be deficient and unable to maintain the prototype at the point of operation due to vibrations produced by the flywheel. Despite this, all necessary system components were adapted to the prototype and its stability improved. Also, the estimation of all state variables was achieved simultaneously, and the jump control was prepared to be carried out in future developments.