Markoff m-Triples with k-Fibonacci Components

Abstract

El artículo estudia los Markoff m-triples con componentes en números k-Fibonacci, resolviendo la ecuación generalizada de Markoff x2+y2+z2=3xyz+m x 2 +y 2 +z 2 =3xyz+m, con m>0 m>0 y k≥2 k≥2. Se demuestra que todos los triples no mínimos corresponden al caso m=8 m=8 y están formados por números de Pell, lo que genera una rama específica en el árbol de Markoff con triple minimal (2,2,12). Asimismo, se establece que, para m>0 m>0, existe a lo sumo un triple minimal con componentes k-Fibonacci, salvo en el caso k=3 k=3, donde aparecen pares de soluciones distintas que comparten el mismo valor de m m. El trabajo amplía resultados previos sobre las secuencias de Fibonacci, Lucas y Pell, aportando una clasificación completa de estos triples en el marco de las recurrencias lineales generalizadas.

We classify all solution triples with k-Fibonacci components to the equation x2%2By2%2Bz2=3xyz%2Bm, where m is a positive integer and k≥2. As a result, for m=8, we have the Markoff triples with Pell components (F2(2),F2(2n),F2(2n%2B2)), for n≥1. For all other m there exists at most one such ordered triple, except when k=3, a is odd, b is even and b≥a%2B3, where (F3(a),F3(b),F3(a%2Bb)) and (F3(a%2B1),F3(b−1),F3(a%2Bb)) share the same m.