Van Dooren's index sum theorem and rational matrices with prescribed structural data

Abstract

Se sabe que os datos estructurales de una matriz R(lambda), es decir, los índices estructurales de sus polos y ceros junto con los índices minimales de sus espacios nulos izquierdos y derechos, satisface una condición simple que involucra ciertas sumas de estos índices. Esta condición fundamental fue probada por primera vez por Van Dooren en 1978; aquí nos referimos a este resultado como el teorema de la suma de índices racional. Un resultado análogo para polinomios matriciales ha sido independientemente descubierto (y redescubierto) en varias ocasiones durante los treinta últimos años. En este artículo, clarificamos la conexión entre estos dos aparentemente distintos teoremas de la suma de índices, describimos un poco de la historia de su desarrollo y discutimos su curioso desconocimiento mutuo. Finalmente, usamos la conexión entre estos resultados para resolver un problema inverso fundamental para matrices racionales: ¿para qué listas L de datos estructurales prescritos existe alguna matriz racional R(lambda) que realiza exactamente la lista L? Probamos que La condición de Van Dooren es la única condición sobre realizabilidad racional; es decir, una lista L son los datos estructurales de una matriz racional R(lambda) si y sólo si L satisface la condición de la suma de índices racionales.

The structural data of any rational matrix R(lambda), i.e., the structural indices of its poles and zeros together with the minimal indices of its left and right nullspaces, is known to satisfy a simple condition involving certain sums of these indices. This fundamental constraint was first proved by Van Dooren in 1978; here we refer to this result as the rational index sum theorem. An analogous result for polynomial matrices has been independently discovered (and rediscovered) several times in the past three decades. In this paper we clarify the connection between these two seemingly different index sum theorems, describe a little bit of the history of their development, and discuss their curious apparent unawareness of each other. Finally, we use the connection between these results to solve a fundamental inverse problem for rational matrices---for which lists L of prescribed structural data does there exist some rational matrix R(lambda ) that realizes exactly the list L? We show that Van Dooren's condition is the only constraint on rational realizability; that is, a list L is the structural data of some rational matrix R(lambda ) if and only if L satisfies the rational index sum condition.