Conditioning and backward errors of eigenvalues of homogeneous matrix polynomials under Möbius transformations

Abstract

Presentamos el primer estudio general sobre el efecto de las transformaciones de Möbius en los números de condición de autovalores y los errores backward de pares autovalor-autovector aproximados de problemas de autovalores polinómicos (PEPs). Usando la formulación homogénea de los PEPs somos capaces de obtener dos resultados simples y claros. Primero, probamos que si la matriz que induce la transformación de Möbius está bien condicionada, entonces dicha transformación aproximadamente preserva los números de condición y los errores backward cuando se definen con respecto a perturbaciones del polinomio matricial que son pequeñas relativas a la norma del polinomio entero. Sin embargo, si las perturbaciones en cada coeficiente del polinomio matricial son pequeñas relativas a la norma de ese coeficiente, entonces los correspondientes números de condición y errores backward se conservan aproximadamente por transformaciones de Möbius inducidas por matrices bien condicionadas si y sólo si un factor de peaje, que depende de las normas de esos coeficientes matriciales, es moderado. Es importante notar que estos simples resultados no serán verdad si la formulación no homogénea del PEP se usa.

We present the first general study on the effect of Möbius transformations on the eigenvalue condition numbers and backward errors of approximate eigenpairs of polynomial eigenvalue problems (PEPs). By using the homogeneous formulation of PEPs, we are able to obtain two clear and simple results. First, we show that if the matrix inducing the Möbius transformation is well-conditioned, then such transformation approximately preserves the eigenvalue condition numbers and backward errors when they are defined with respect to perturbations of the matrix polynomial which are small relative to the norm of the whole polynomial. However, if the perturbations in each coefficient of the matrix polynomial are small relative to the norm of that coefficient, then the corresponding eigenvalue condition numbers and backward errors are preserved approximately by the M¨obius transformations induced by well-conditioned matrices only if a penalty factor, depending on the norms of those matrix coefficients, is moderate. It is important to note that these simple results are no longer true if a non-homogeneous formulation of the PEP is used.