Torelli Theorem for the parabolic Deligne-Hitchin moduli space over a curve

Abstract

En esta tesis de master describimos una versión parabólica del espacio de moduli de Deligne-Hitchin para SL(r,C)-fibrados sobre superficies de Riemann marcadas y probamos un nuevo teorema de Torelli para este espacio. Tras revisar algunos conceptos básicos sobre espacios de moduli de fibrados vectoriales y fibrados de Higgs, se da el formalismo de las estructuras parabólicas con el fin de tratar con curvas no compactas. Se describen los fibrados parabólicos y los fibrados de Higgs parabólicos, y presentamos las relaciones de estos objetos y con las conexiones parabólicas y los sistemas locales filtrados. Se enuncian teoremas de Torelli para todos los espacios de moduli anteriormente descritos y se construye el espacio de Deligne-Hitchin a partir del espacio de moduli de Hodge. Finalmente, se describen las generalizaciones del espacio de moduli de Hodge y el espacio de moduli de Deligne-Hitchin al caso parabólico. Se proporciona una demostración alternativa del Teorema de Torelli para el espacio de moduli de Higgs parabólico y se demuestran los teoremas de Torelli tanto para el espacio de moduli de Hodge como para el espacio de moduli de Deligne-Hitchin.

In this master thesis we describe a parabolic version of the Deligne-Hitchin moduli space for SL(r;C)-bundles over punctured Riemann surfaces and we prove a new Torelli theorem for this space. After reviewing some of the basic concepts about moduli spaces of vector bundles and Higgs bundles, the formalism of parabolic structures is given in order to deal with noncompact curves. Parabolic vector bundles and parabolic Higgs bundles are described, and we present the relations of these objects with parabolic connections and filtered local systems. Torelli theorems are stated for all the previously described moduli spaces and the Deligne-Hitchin moduli space is built from the Hodge moduli space. Finally, the generalization of the Hodge moduli space and the Deligne-Hitchin moduli space for the parabolic case is described. An alternative proof of the Torelli theorem for the parabolic Higgs moduli space is given, and the Torelli theorem for both the Hodge moduli space and the Deligne-Hitchin moduli space is proved.