Principal eigenvalues of elliptic BVPs with glued Dirichlet-Robin mixed boundary conditions. Large potentials on the boundary conditions

Abstract

En este artículo se demuestran la existencia, unicidad y simplicidad del autovalor principal de una clase de problemas elípticos de autovalores con condiciones de contorno no separadas de tipo Dirichlet-Robin es una componente de la frontera del dominio, y condiciones de tipo Dirichlet en la otra componente de la frontera. Además, dicho autovalor principal y su autofunción normalizada son aproximados en el espacio $\mathbb{R} \times H^1(\Omega)$ por pares principales de problemas de autovalores elípticos con condiciones de contorno mixtas separadas. En cierta forma, las condiciones de contorno no separadas analizadas en este artículo pueden ser consideradas como condiciones de contorno mixtas separadas, con potenciales que explotan a infinito en ciertas regiones de la frontera. Los autovalores principales analizados en este artículo constituyen una pieza clave en el estudio de la existencia, unicidad y comportamiento asintótico de las soluciones positivas de ciertas clases de problemas de contorno semilineales elípticos con condiciones de frontera no lineales y heterogeneidades espaciales. Las principales técnicas utilizadas para llevar a cabo el análisis matemático de este trabajo han sido técnicas variacionales y de monotonía.

In this paper we prove the existence, uniqueness and simplicity of the principal eigenvalue of a class of elliptic eigenvalue problems with non-separated Robin-Dirichlet boundary conditions on a component of the boundary of the domain and Dirichlet boundary conditions on the other component of the boundary. Moreover, this principal eigenvalue and its normalized principal eigenfunction are approached in $\mathbb{R} \times H^1(\Omega)$ by principal eigen-pairs of boundary eigenvalue problems with mixed separated boundary conditions. In some sense, the mixed non-separated boundary conditions analyzed in this work may be considered as mixed separated boundary conditions with large potentials in the Robin boundary condition. The principal eigenvalues analyzed in this paper, play a crucial role in analyzing the existence, uniqueness and asymptotic behavior of positive solutions of certain kinds of semilinear elliptic boundary value problems with nonlinear boundary conditions and spatial heterogeneities. The main technical tools used to carry out the mathematical analysis of this work are variational and monotonicity techniques.