A computational analysis of isomorphism classes of moduli spaces of parabolic vector bundles

Abstract

Esta tesis combina técnicas computacionales y matemáticas para investigar la estructura y las simetrías de los espacios de moduli de fibrados vectoriales parabólicos estables sobre curvas proyectivas complejas suaves con puntos marcados. El objetivo principal es clasificar los tipos de isomorfismo de estos espacios de moduli y calcular sus grupos de automorfismos, centrándose en pesos genéricos y en el caso de género suficientemente alto.

Estos espacios de moduli varían con respecto a un conjunto de parametros llamados pesos parabólicos, cuyo espacio de parámetros se divide mediante una colección finita de paredes en cámaras de estabilidad. Dentro de cada cámara, el espacio de moduli permanece invariante, mientras que al cruzar una pared, generalmente se obtiene un espacio distinto. Sin embargo, un conjunto de transformaciones básicas—pullback, Hecke, tensorización y dualización—generan isomorfismos entre diferentes cámaras, agrupando los espacios de moduli en distintas clases de isomorfismo.

Una contribución central de este trabajo es el desarrollo de un marco computacional centrado en dos algoritmos clave. El primero es un árbol de decisión que particiona el espacio de pesos en cámaras de estabilidad mediante la división recursiva de politopos. Este procedimiento se basa en la enumeración de vectores de selección admisibles que definen paredes candidatas y en determinar cuáles de estas afectan realmente a la descomposición. El segundo algoritmo utiliza la estructura de cámaras resultante para calcular clases de isomorfismo y grupos de automorfismos, aplicando todas las transformaciones básicas a representantes de cada cámara, clasificándolos de forma eficiente mediante el árbol de decisión.

El análisis computacional revela patrones estructurales y simetrías profundas, llevando a una serie de conjeturas que posteriormente se demuestran mediante pruebas matemáticas rigurosas. Derivamos una fórmula cerrada para el número de paredes geométricas y presentamos tanto cotas ajustadas como estimaciones asintóticas para su crecimiento. Para el número de cámaras de estabilidad, proporcionamos cotas superior e inferior basadas en la teoría de arreglos de hiperplanos en función del número de paredes. Un resultado estructural clave demuestra que para rangos mayores que dos, la dualización no aparece en ningún automorfismo de un espacio de moduli genérico.

This thesis combines computational and mathematical techniques to investigate the structure and symmetries of moduli spaces of stable parabolic vector bundles over smooth complex projective curves with marked points. The main objective is to classify the isomorphism types of these moduli spaces and compute their automorphism groups, with a focus on generic weights and sufficiently large genus.

These moduli spaces vary with respect to a set of parameters called parabolic weights, whose parameter space is divided by a finite collection of walls into stability chambers. Within each chamber, the moduli space remains unchanged, while crossing a wall typically results in a different space. However, a set of basic transformations—pullback, Hecke, tensorization, and dualization—induce isomorphisms between different chambers, grouping moduli spaces into distinct isomorphism classes.

A central contribution of this work is the development of a computational framework centered on two key algorithms. The first is a decision tree that partitions the weight space into stability chambers by recursively splitting polytopes. This procedure relies on enumerating admissible selection vectors that define candidate walls, and on determining which of these walls actually affect the decomposition. The second algorithm builds on the resulting chamber structure to compute isomorphism classes and automorphism groups by applying all basic transformations to chamber representatives, classifying them efficiently using the decision tree.

The computational analysis reveals deep structural patterns and symmetries, motivating a series of conjectures that are subsequently established through rigorous mathematical proofs. We derive a closed formula for the number of geometric walls and present both tight bounds and asymptotic estimates for their growth. For the number of stability chambers, we provide upper and lower bounds based on hyperplane arrangement theory as a function of the number of walls. A key structural result demonstrates that for rank greater than two, dualization does not appear in any automorphism of a generic moduli space.