Enfoques Numéricos y Variacionales para la Resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado (TFG) examina en detalle las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), partiendo de su base teórica y extendiéndose a su resolución mediante técnicas computacionales avanzadas. En la primera fase se revisa la teoría clásica de EDPs, abordando la formulación fuerte o clásica y débil o moderna, el concepto de derivada distribucional y las propiedades de los espacios de Sobolev, ilustrándolo con ejemplos como Poisson, Laplace y la ecuación del calor. A continuación, se implementan y comparan dos métodos numéricos tradicionales: diferencias finitas (FD) y elementos finitos (FEM), analizando su estabilidad, convergencia y eficiencia computacional bajo distintos esquemas de mallado y selección de puntos de entrenamiento. La tercera fase introduce las Redes Neuronales Físicamente Informadas o Physics‐Informed Neural Networks (PINNs), redes que integran la propia EDP, las condiciones iniciales y las de contorno en su función de pérdida, eliminando la necesidad de construir un mallado explícito. Se diseña una arquitectura con activaciones suaves y se estudia su comportamiento ante muestreos equiespaciados y aleatorios de puntos de entrenamiento, evaluando su capacidad para manejar dominios constantes y dominios variantes en el tiempo. Todo ello queda reflejado en un caso práctico de transferencia de calor, comparando errores off‐grid mediante interpolación cúbica con splines y tiempos de cómputo. Finalmente, se presenta un análisis global de resultados y se proponen líneas futuras: extensión a dominios de mayor dimensión, problemas inversos y metodologías híbridas que combinen FEM y PINNs para mejorar precisión y velocidad.

This Bachelor’s Thesis (TFG) provides a comprehensive examination of partial differential equations (PDEs), beginning with their theoretical foundations and extending to their solution via advanced computational techniques. In the first phase, classical PDE theory is reviewed, covering the strong (classical) and weak (modern) formulations, the concept of distributional derivatives, and Sobolev space properties, illustrated with examples such as Poisson, Laplace, and the heat equation. Next, two traditional numerical methods, finite differences (FD) and finite elements (FEM), are implemented and compared, analyzing their stability, convergence, and computational efficiency under various meshing schemes and training-point selections. The third phase introduces Physics-Informed Neural Networks (PINNs), which embed the PDE itself, initial conditions, and boundary conditions within the loss function, consequently eliminating the need for explicit mesh generation and storage. A network architecture with smooth activations is designed and its performance is evaluated using both evenly-spaced and random sampling of training points, assessing its ability to handle fixed and time‐varying domains. All methods are validated on a practical heat‐transfer example, comparing off‐grid errors via cubic spline interpolation and measuring runtime. Finally, a global analysis of the results is presented, and future research directions are proposed: extension to higher‐dimensional domains, inverse problems, and hybrid approaches that combine FEM and PINNs to enhance both accuracy and speed.