A comparison of eigenvalue condition numbers for matrix polynomials

Abstract

En este artículo consideramos los diferentes números de condición de autovalores simples de polinomios matriciales que se han usado en la literatura y los comparamos. Uno de estos números de condición es una generalización del número de condición de Wilkinson para el problema de autovalores estándar. Este número tiene la desventaja de estar definido sólo para autovalores finitos. Para dar un enfoque unificado a todos los autovalores de un polinomio matricial, tanto finitos como infinitos, dos números de condición (homogéneos) se han definido en la literatura. Para su definición se han usado enfoques muy distintos. Uno de los principales objetivos de esta es probar que, cuando el polinomio matricial tiene un grado moderado, ambos números de condición homogéneos son esencialmente el mismo y uno de ellos proporciona una interpretación geométrica del otro. También comparamos los números de condición homogéneos con el número de condición "Wilkinsoniano" y probamos cómo se extiende este número de condición a los autovalores cero e infinito.

In this paper, we consider the different condition numbers for simple eigenvalues of matrix polynomials used in the literature and we compare them. One of these condition numbers is a generalization of the Wilkinson condition number for the standard eigenvalue problem. This number has the disadvantage of only being defined for finite eigenvalues. In order to give a unified approach to all the eigenvalues of a matrix polynomial, both finite and infinite, two (homogeneous) condition numbers have been defined in the literature. In their definition, very different approaches are used. One of the main goals of this note is to show that, when the matrix polynomial has a moderate degree, both homogeneous condition numbers are essentially the same and one of them provides a geometric interpretation of the other. We also show how the homogeneous condition numbers compare with the Wilkinson-like eigenvalue condition number and how they extend this condition number to zero and infinite eigenvalues.