Real Higgs pairs and Non-abelian Hodge correspondence on a Klein surface

Abstract

Introducimos estructuras reales en pares de Higgs trenzados en L sobre un compacto conectado Superficie de Riemann X equipada con una involución anti-holomórfica, donde L es un holomorfo haz de líneas en X con una estructura real, y prueba una correspondencia de Hitchin-Kobayashi para los pares de Higgs trenzados en L. Paquetes reales de GR-Higgs, donde GR es una forma real de un grupo algebraico afín complejo semisimple G, constituyen una clase particular de ejemplos de estos pares. En este caso, se define la estructura real del espacio de módulos de pares G-Higgs utilizando una conjugación de G que conmuta con la que define la forma real GR y una conjugación compacta de G preservando GR. Establecemos un homeomorfismo entre los módulos espacio de haces reales de GR-Higgs y el espacio de módulos de representaciones de los grupo de X en GR que puede extenderse a una representación del fundamental orbifold grupo de X en una cierta ampliación de GR con cociente Z / 2Z. Finalmente, mostramos cuán real Los haces de GR-Higgs aparecen naturalmente como puntos fijos de ciertas involuciones anti-holomórficas del espacio de módulos de los haces de GR-Higgs, construido utilizando las estructuras reales en G y X. Se demuestra un resultado similar para las representaciones del grupo fundamental orbifold.

We introduce real structures on L-twisted Higgs pairs over a compact connected Riemann surface X equipped with an anti-holomorphic involution, where L is a holomorphic line bundle on X with a real structure, and prove a Hitchin–Kobayashi correspondence for the L-twisted Higgs pairs. Real GR-Higgs bundles, where GR is a real form of a connected semisimple complex affine algebraic group G, constitute a particular class of examples of these pairs. In this case, the real structure of the moduli space of G-Higgs pairs is defined using a conjugation of G that commutes with the one defining the real form GR and a compact conjugation of G preserving GR. We establish a homeomorphism between the moduli space of real GR-Higgs bundles and the moduli space of representations of the fundamental group of X in GR that can be extended to a representation of the orbifold fundamental group of X into a certain enlargement of GR with quotient Z/2Z. Finally, we show how real GR-Higgs bundles appear naturally as fixed points of certain anti-holomorphic involutions of the moduli space of GR-Higgs bundles, constructed using the real structures on G and X. A similar result is proved for the representations of the orbifold fundamental group.